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精品K12学*新版高中数学人教A版选修2-2*题:第一章导数及其应用 1.2.2

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1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (二)
课时过关·能力提升
基础巩固
1 下列求导正确的是( )

A.

'=1+

B.(lg x+x3)'=

+3x2

C.(3x+ln 3)'=3xln 3+ D.(x2cos x)'=-2xsin x

解析

'=1- ,(3x+ln 3)'=3xln 3,

(x2cos x)'=2x·cos x-x2·sin x.

答案 B

2 已知 f(x)=ax3+3x2+2,若 f'(-1)=4,则 a 等于( )

A.

B.

C.

D.

解析∵f'(x)=3ax2+6x,

∴f'(-1)=3a-6=4.

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∴a= . 答案 D

3 函数 f(x)=(2x+1)2 在 x=1 处的导数值是( )

A.6

B.8

C.10

D.12

答案 D

4 曲线 y=xln x 在点(1,0)处的切线方程为( )

A.y=2x+2

B.y=2x-2

C.y=x-1

D.y=x+1

解析∵y=xln x,∴y'=ln x+1,

曲线在点(1,0)处的切线的斜率 k=y'|x=1=1.

故切线方程为 y=x-1.

答案 C

5 若曲线 y=

在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 等于( )

A.2

B.

C.-

D.-2

解析 y=

=1+ ,

∴y'=-

.

∴y'|x=3=- . 精品 K12 学*资料

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∴-a=2. ∴a=-2. 答案 D

6 已知 f(x)=sin α-cos x,则 f'(α)=

.

解析 f'(x)=(sin α)'-(cos x)'=0+sin x=sin x, 则 f'(α)=sin α.
答案 sin α

7 若 f(x)=xe2x,则 f'(1)=

.

解析∵f(x)=xe2x,∴f'(x)=x'·e2x+x·(e2x)' =e2x+2xe2x. 故 f'(1)=e2+2e2=3e2.
答案 3e2

8 曲线 y=x3-4x 在点(1,-3)处的切线的倾斜角 α 为

.

解析 y'=3x2-4, ∴k=y'|x=1=-1,即 tan α=-1.

∴α= .

答案

9 有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离 s(单位:m)关于时间 t(单位:s)的函数为 s=f(t)=5-

.求函数在 t= s 时的导数,并解释它的实际意义.

解函数 s=5-

可以看作函数 s=5- 和 x=25-9t 的复合函数,其中 x 是中间变量.

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由导数公式可得 s'x=-

,x't=-9.

故由复合函数求导法则得 f'(t)=s't=s'x·x't

=

·(-9)=

,

将 t= 代入 f'(t),得 f' ≈0.987(m/s). 它表示当 t= s 时,梯子上端下滑的速度约为 0.987 m/s.
能力提升

1 已知函数 f(x)= ,则方程 f'(x)=0 的解为( )

A.x=1

B.x=e

C.x=

D.x=0

解析 f'(x)=

,

∵f'(x)=0,∴1-ln x=0,解得 x=e. 答案 B

2 已知函数 f(x)=x3+ax2,以曲线 y=f(x)上一点 P(-1,b)为切点且*行于直线 3x+y=0 的切线方程为 ( )

A.3x+y-1=0

B.3x+y+1=0

C.3x-y+1=0

D.3x+y-2=0

解析 y'=f'(x)=3x2+2ax,

∴y'|x=-1=3-2a=-3. 精品 K12 学*资料

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∴a=3,则 b=(-1)3+3×(-1)2=2. ∴切线方程为 y-2=-3(x+1), 即 3x+y+1=0. 答案 B

3 若函数 f(x)= f'(-1)x2-2x+3,则 f'(-1)的值为 ( )

A.0

B.-1

C.1

D.2

解析∵f(x)= f'(-1)x2-2x+3, ∴f'(x)=f'(-1)x-2. ∴f'(-1)=f'(-1)×(-1)-2. ∴f'(-1)=-1.
答案 B
★ 4 曲线 y=e-2x+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为( )

A.

B.

C.

D.1

解析由题意得 y'=(e-2x+1)'=e-2x(-2x)'=-2e-2x,

则曲线在点(0,2)处的切线斜率为 k=-2e0=-2,

所以切线方程为 y=-2x+2.

联立

得C

.

所以切线 y=-2x+2 与 y=0 和 y=x 围成的三角形如图所示,

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其面积为 S△OBC= |OB|×

×1×

.

答案 A

5 已知函数 f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中 a 为实数,f'(x)为 f(x)的导函数,若 f'(1)=3,则 a 的值为

.

解析因为 f(x)=axln x,所以 f'(x)=aln x+ax· =a(ln x+1). 由 f'(1)=3 得 a(ln 1+1)=3,所以 a=3.
答案 3

6 已知 y=

,x∈(-π,π),则当 y'=2 时,x=

.

解析 y'=

=

=

=

.



=2,则 cos x=- .

又 x∈(-π,π),故 x=± .

答案±
7 设函数 f(x)=ax3+bx+c(a>0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x-6y-7=0 垂直,导函数 f'(x)的最小值是12,求 a,b,c 的值.

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解∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), 即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,∴c=0. ∵f'(x)=3ax2+b 的最小值为-12,且 a>0, ∴b=-12. 又 f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 x-6y-7=0 垂直. ∴f'(1)=3a+b=-6,∴a=2. 综上可得,a=2,b=-12,c=0.

★ 8 已知向量 a=

,b=

,令 f(x)=a·b,是否存在实数 x∈[0,π],使

f(x)+f'(x)=0(其中 f'(x)是 f(x)的导函数)?若存在,求出 x 的值;若不存在,请说明理由.

分析先利用向量运算求 f(x),再利用三角公式化简 f(x),然后求 f'(x),最后令 f'(x)+f(x)=0 即可得结果.

解存在.f(x)=a·b=2 cos ·sin

+tan

·tan

=2 cos

=2sin cos +2cos2 -1=sin x+cos x.

令 f(x)+f'(x)=0,即 f(x)+f'(x)=sin x+cos x+cos x-sin x=2cos x=0,

可得 x= +kπ(k 为整数).

因为 x∈[0,π],所以 x= ,

即存在实数 x= ∈[0,π], 使得 f(x)+f'(x)=0.

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