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[配套K12]2019届高考数学一轮复* 第六章 不等式、推理与证明 第4节 基本不等式练* 新人教A版

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第六章 第 4 节 基本不等式

[基础训练组]

1.(导学号 14577548)设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( )

A.a<b< ab<a+2 b

B.a< ab<a+2 b<b

C.a< ab<b<a+2 b

D. ab<a<a+2 b<b

解析:B [∵0<a<b,∴a<a+2 b<b,A、C 错误; ab-a= a( b- a)>0,即 ab>a,

D 错误,故选 B.]

2.(导学号 14577549)已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为( )

A.13

B.12

C.34

D.23

解析:B [∵0<x<1,∴1-x>0.

∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3???x+21-x???2=34.

当 x=1-x,即 x=12时取等号.]

3.(导学号 14577550)函数 y=xx2-+12(x>1)的最小值是(

)

A.2 3+2

B.2 3-2

C.2 3

D.2

解析:A [∵x>1,∴x-1>0.

∴y=xx2-+12=x2-2xx-+12x+2

x2-2x+1+ x- +3



x-1

= x-

2+ x- x-1

+3=x-1+x-3 1+2

≥2

x- ???x-3 1???+2=2 3+2.

当且仅当 x-1=x-3 1,即 x=1+ 3时,取等号.]

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4.(导学号 14577551)(2018·长春市质检)设正实数 a,b 满足 a+b=1,则( )

11 A.a+b有最大值 4

B. ab有最小值12

C. a+ b有最大值 2

D.a2+b2 有最小值

2 2

解析:C [由于 a>0,b>0,由基本不等式得 1=a+b≥2 ab,当且仅当 a=b 时,等号 成立,∴ ab≤12,∴ab≤14,1a+1b=a+ abb=a1b≥4,因此1a+1b的最小值为 4,a2+b2=(a+b)2

-2ab=1-2ab≥1-12=12,( a+ b)2=a+b+2 ab=1+2 ab≤1+1=2,所以 a+ b有

最大值 2,故选 C.]

5.(导学号 14577552)要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容

器的底面造价是每*方米 20 元,侧面造价是每*方米 10 元,则该容器的最低总造价是( )

A.80 元

B.120 元

C.160 元

D.240 元

解析:C [设该容器的总造价为 y 元,长方体的底面矩形的长为 x m,因为无盖长方体

的容积为

4

m3,高为

1

4 m,所以长方体的底面矩形的宽为x

m,依题意,得

y=20×4+

10 ???2x+2×x 4??? = 80 + 20 ???x+4x??? ≥80 + 20×2

x×4x =

160???当且仅当x=4x,即x=2时取等号???,所以该容器的最低总造价为 160 元.]

6.(导学号 14577553)当 x>1 时,不等式 x+x-1 1≥a 恒成立,则实数 a 的最大值为

________ . 解析:因为 x>1,所以 x-1>0.又 x+x-1 1=x-1+x-1 1+1≥2+1=3,当且仅当 x
=2 时等号成立,所以 a 的最大值为 3. 答案:3 7.(导学号 14577554)(文科)设→OA=(1,-2),O→B=(a,-1),→OC=(-b,0),a>0,b
>0,O 为坐标原点,若 A,B,C 三点共线,则1a+2b的最小值是 ________ .

解析:A→B=O→B-O→A=(a-1,1),→AC=→OC-→OA =(-b-1,2),∵A,B,C 三点共线,∴→AB与→AC共线, ∴2(a-1)+b+1=0,即 2a+b=1.

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∵a>0,b>0,∴1a+2b=???1a+2b???(2a+b)=4+ba+4ba≥4+4=8,当且仅当ba=4ba,即 b =2a 时等号成立.
答案:8 7.(导学号 14577555)(理科)(2018·济宁市一模)已知圆 x2+y2-2x-4y+3=0 关于直 线 ax+by-3=0(a>0,b>0)对称,则1a+2b的最小值为 _________ . 解析:∵圆 x2+y2-2x-4y+3=0?(x-1)2+(y-2)2=2,圆 x2+y2-2x-4y+3=0 关 于直线 ax+by-3=0(a>0,b>0)对称, ∴该直线经过圆心(1,2). 把圆心(1,2)代入直线 ax+by-3=0(a>0,b>0), 得 2a+2b-3=0, ∴a+b=32,a>0,b>0,

∴1a+2b=23×???1a+2b???(a+b) =23???1+2+ba+2ba???≥23???3+2 ba·2ba???=2+4 3 2, 当且仅当2ba=ba,即 b= 2a 时取得最小值 2+4 3 2.

答案:2+4 3 2

8.(导学号 14577556)(2018·天津河北区三模)已知 a>0,b>0 满足 a+b=ab-3,那

么 a+2b 的最小值为 ____ .

解析:因为 a+b=ab-3,所以 ab-a=b+3.

又因为 a>0,b>0,所以 a=bb+ -31,

所以

a



2b



b+3 b-1



2b



b-1+4 b-1



2(b



1)



2



4 b-1



2(b



1)



4 3≥2 b-1

b- +3=4 2+3,当且仅当b-4 1=2(b-1)即 b= 2+1 时取“=”.

答案:4 2+3 9.(导学号 14577557)已知 a>0,b>0,c>0,求证:bac+cba+acb≥a+b+c. 证明:∵a>0,b>0,c>0,

bc ca ∴ a + b ≥2

bac·cba=2c,

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bac+acb≥2 bac·acb=2b,

ca ab b + c ≥2

cba·acb=2a.

以上三式相加得:

2???bac+cba+acb???≥2(a+b+c), 即bac+cba+acb≥a+b+c.

10.(导学号 14577558)已知 lg(3x)+lg y=lg(x+y+1).

(1)求 xy 的最小值;

(2)求 x+y 的最小值.

解:由 lg(3x)+lg y=lg(x+y+1)

?? x>0, 得?y>0,
??3xy=x+y+1.

(1)∵x>0,y>0,

∴3xy=x+y+1≥2 xy+1,

∴3xy-2 xy-1≥0, 即 3( xy)2-2 xy-1≥0,

∴(3 xy+1)( xy-1)≥0,

∴ xy≥1,∴xy≥1, 当且仅当 x=y=1 时,等号成立. ∴xy 的最小值为 1. (2)∵x>0,y>0, ∴x+y+1=3xy≤3·???x+2 y???2, ∴3(x+y)2-4(x+y)-4≥0, ∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0, ∴x+y≥2, 当且仅当 x=y=1 时取等号, ∴x+y 的最小值为 2.
[能力提升组] 11.(导学号 14577559)(2018·金丽衢市联考)若函数 f(x)=2xx-2-1a(a<2)在区间(1,+

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∞)上的最小值为 6,则实数 a 的值为( )

3

A.0

B.2

C.1

D.12

解析:B [由题意得 f(x)=2xx-2-1a



x-

2+ x- x-1

+2-a =

2(x



1) +

2-a x-1

+ 4≥2

x-

2x- -a1 + 4 =

2 4-2a+4,当且仅当 2(x-1)=2x--a1,即 x=1+

2-a 2 时,等号成立,所以 2

4-2a+

4=6,即 a=32,故选 B.]

12.(导学号 14577560)(理科)(2018·*顶山市一模)若对于任意的 x>0,不等式

x2+3xx+1≤a 恒成立,则实数 a 的取值范围为(

)

A.a≥15

B.a>15

C.a<15

D.a≤15

解析:A [由 x>0,x2+3xx+1=x+11x+3,令 t=x+1x,则 t≥2

x·1x=2,

当且仅当

x=1

时,t

取得最小值

x

1

2,x2+3x+1取得最大值5,所以对于任意的

x>0,不

x 等式x2+3x+1≤a

恒成立,则

a≥15,故选

A.]

12.(导学号

14577561)(文科)(2018·邯郸市调研)若正数

a,b

11

4

满足a+b=1,则a-1+

b1-61的最小值为(

)

A.16 C.36
解析:A

B.25

D.49

[因为

a



b>0



1 a



1 b



1







a



b



ab







4 a-1



16 b-1



b- + a- a- b-

=ab4-b+a1+6a- b 20+1=4b+16a-20.又 4b+16a=4(b+4a)=4(b+

4a)???1a+1b???=20+4???ba+4ba???≥20+4×2

b 4a

b 4a 1 1

a· b =36,当且仅当a= b 且a+b=1,即

a=32,

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b=3 时取等号.所以a-4 1+b1-61≥36-20=16.]

13.(导学号 14577562)规定记号“?”表示一种运算,即 a?b= ab+a+b(a,b 为正实

数 ). 若 1 ? k= 3,则 k 的值 为 ____________ ,此 时函数 f(x) =k?x的最 小值 为 x

________ .

解析:1?k= k+1+k=3,即 k+ k-2=0,

∴ k=1 或 k=-2(舍去),k=1.

f(x)=1?x=

x+x+1 =1+

x+ 1 ≥1+2=3,

x

x

x

当且仅当 x= 1 即 x=1 时等号成立. x

答案:1 3

14.(导学号 14577563)(2018·安徽皖北片第一次联考)某工厂某种产品的年固定成本

为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x),当年产量不足 80 千件时,C(x)=13x2

+10x(万元).当年产量不小于 80 千件时,C(x)=51x+10 x000-1 450(万元).每件商品售

价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.

(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式;

(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

解:(1)∵每件商品售价为 0.05 万元,

∴x 千件商品销售额为 0.05×1 000x 万元,

①当 0<x<80 时,根据年利润=销售收入-成本,

∴L(x)=(0.05×1 000x)-13x2-10x-250=-13x2+40x-250;

②当 x≥80 时,根据年利润=销售收入-成本,

∴L(x)=(0.05×1

000x)-51x-10

000 x +1

450-250=1

200-???x+10 x000???.

??-13x2+40x-250,0<x<80,
综合①②可得,L(x)=
???1 200-???x+10 x000???,x≥80.

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?? -31x2+40x-250,0<x<80,
(2)由(1)可知,
???1 200-???x+10 x000???,x≥80,

①当 0<x<80 时,L(x)=-13x2+40x-250=-13(x-60)2+950,

∴当 x=60 时,L(x)取得最大值 L(60)=950 万元;

②当 x≥80 时,L(x)=1 200-???x+10 x000???≤1 200-2

x·10

000 x =1

200-200=1

000,

当且仅当 x=10 x000,即 x=100 时,L(x)取得最大值 L(100)=1 000 万元.

综合①②,由于 950<1 000,

∴当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1 000 万元.

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