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浙江省2018版高考数学一轮复* 专题:07 数列中不等式证明特色训练-数学备课大师【全免费】

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七、数列中不等式证明 一、解答题 1. 【2018 届安徽省蚌埠市第二中学高三 7 月月考】已知数列 . (1)求数列 的通项公式; 满足 , (2)证明: . 【答案】 (1) ;(2)证明过程见解析 (2) 本问主要通过不等式的放缩来对数列求和, 根据 得 , 所以 . 试题解析: (1)∵ ∴ ∴ ,即 ,∴ . 是以 . 为首项,2 为公比的等比数列. (2)证明:∵ , , ∴ . 2. 【2017 届北京西城 35 中高三上期中】等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 , a4 ? a3 ? 2 . ( 1 )求 ?an ? 的通项公式. ( 2 )设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等? ( 3 )试比较 an 与 bn 的大小,并说明理由. 【答案】 ( 1 ) an ? 2n ? 2 ( 2 ) n ? 63 ( 3 ) an ? bn 试题解析: ( 1 )∵ ?an ? 是等差数列, { a1 ? a2 ? 10 2a ? d ? 10 , ?{ 1 a4 ? a3 ? 2 d ?2 ∴解出 d ? 2 , a1 ? 4 , ∴ an ? a1 ? d ? n ?1? ? 4 ? 2n ? 2 , ? 2n ? 2 . ( 2 )∵ b2 ? a3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 8 , b3 ? a7 ? 2 ? 7 ? 2 ? 16 , ?bn ? 是等比数列, q? b3 ? 2, b2 ∴ bn ? b ? qn?1 ? b2 ? qn?2 , ? 2n?1 . 又∵ b6 ? 2 6?1 ? 27 ? an ? 2 ? n ?1? , ∴ n ? 63 , ∴ b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. ( 3 )猜想 an ? bn ,即 2 ? n ? 1? ? 2 n?1 ,即 n ? 1 ? 2 , n 用数学归纳法证明如下: ①当 n ? 1 时, 1 ? 1 ? 2 ,显然成立, 1 ②假设当 n ? k 时, k ? 1 ? 2k 成立,即 k ? 1 ? 2k ? 0 成立; 则当 n ? k ? 1 时, ? k ?1? ?1? 2k ?1 ?k ? ? 2 ? ? 1 ? 2k ? , ?2 ? k? k ? ? 2 ? k ? 1 ? 2k ? ? ? ? ? 2 ? ?k ? 0 成立, 2? 2 ? 由①②得,猜想成立. ∴ an ? bn . 3. 【2018 届河南省洛阳市高三期中】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an an?1 ? nan?1 ? 2 ? n ?1? an , 设 bn ? n . an (I)求证:数列 ?bn ? 1? 为等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; (II)设 cn ? 1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ,求证: Sn ? n ? 2 . bn 【答案】 (I) an ? n ? 2n ; (II)证明见解析. 2n ? 1 试题解析: (I)由已知易得 an ? 0 ,由 an an?1 ? nan?1 ? 2 ? n ? 1? an 得1? n 2 ? n ? 1? 即 2bn?1 ? bn ? 1; ? an an?1 ?, 又 b1 ? 1 ? 1 1 ?1 ? ? , a1 2 1 2 1 2 ??bn ?1? 是以 ? 为首项,以 为公比的等比数列. ? 1? ?1? 从而 bn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2? n n ?1 ?1? ? ?? ? ? 2? n 即 n n ? 2n ?1? ? 1 ? ? ? ,整理得 an ? n an 2 ?1 ?2? 即数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? 2n . 2n ? 1 4. 【2018 届江西省宜春中学高三上第一次诊断】 已知等差数列 ?an ? 的公差为 2, 且 a1 , a1 ? a2 , 2 ? a1 ? a4 ? 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ? ? an ? 的前 n 项和为 s n ,求证: sn ? 6 . n ?1 ? ?2 ? 【答案】 (1) an ? 2n ? 1; (2)见解析. 【解析】试题分析: (1)利用等差数列及等比中项的概念建立关系式,进一步求出数列的通 项公式; (2)利用(1)的结论,使用乘公比错位相减法求出数列的和,进一步利用放缩法求 得结. 试题解析: (1)数列 ?an ? 为等差数列,所以: a2 ? a1 ? d ? a1 ? 2 , a4 ? a1 ? 3d ? a1 ? 6 , 因为 a1 ? a2 , 2 ? a1 ? a4 ? 成等比数列, 所以: ? a1 ? a2 ? ? 2a1 ? a1 ? a4 ? , 解得: a1 ? 1 , a1 , 2 所以: an ? 1 ? ( 2 n ?1 ) ? 2n ?1 . (2)已知 an 2n ? 1 1 3 2n ? 1 1 1 3 2n ? 1 ? n ?1 , Sn ? 0 ? 1 ??? n ?1 ① Sn ? 1 ? 2 ??? n ②, n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n ? 3 1 1 ? 2n ? 1 ?1 ? 4 2n ? 1 ? ,所以: Sn ? 1 ? 2 ? 1 ??? n ?1 ? ? n ? 3?? n ? n ? ? 3? 2n 2 2 ? 2 2 ? ?2 ?2 ①-②得: 2n ? 3 2n ? 3 2n ? 3 ? 0 , Sn ? 6 ? n ?1 . ,由于 n ? 1 ,所以: n ?1 n ?1 2 2 2 1 5. 【2018 届湖北省华师一附中高三 9 月调研】 已知数列



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